Función exponencial

En la página Funciones potencia, exponencial y logarítmica he explicado dichas funciones, y en ésta me gustaría conversar sobre la función exponencial. Un tema de lo más candente, como cuando ponderamos las consecuencias del crecimiento exponencial de la población.

El caso típico es que la base sea un número positivo. (Recuerda, la base era el número que se multiplica por sí mismo x veces. En la expresión 10^x la base el 10.) ¿Por qué? Porque un número negativo elevado a un exponente par da un número positivo, mientras que si lo elevamos a un exponente impar nos da un número negativo. Un poco raro.

Una segunda presuposión es que la base no sólo sea positiva, sino también mayor que 1. ¿Por qué? Porque de lo contrario se produce un decrecimiento. Quiero decir que para que haya un crecimiento, para que la función valga cada vez más según crece la x, necesitamos que la base sea mayor que 1.

Tres funciones analíticas estrictamente crecientes (o decrecientes)

En matemáticas se consideran tres funciones analíticas crecientes (o decrecientes) constantemente (estrictamente crecientes o decrecientes):

• la función lineal (y = b · x), y
• la función exponencial (y = a · b^x), y
• la logaritmica (y = a · log_bx).

Me centraré en las dos primeras. Crecen, o decrecen según b sea mayor o menor que 1. La principal diferencia práctica entre la función lineal y la exponencial consiste en que la segunda crece más rápido, mientras que la primera siempre a la misma velocidad.

(La función logarítmica crece aún más despacio.)

¿Qué tiene de especial la función exponencial de base > 1

No sólamente son crecientes las tres, sino que la variable dependiente y alcanzará cualquier valor que fijemos si aumentamos x lo suficiente. Son infinitas, es decir ilimitadas.

Como ya he apuntado, sólo se diferencian por la velocidad a la que crecen. en el caso de la función lineal dicha velocidad es constante.

Un crecimiento exponencial puede parecer una explosión a cámara lenta.