Evolución temporal de los sistemas

Los sistemas en general van pasando por estados distintos a lo largo del tiempo. Si el estado futuro de un sistema depende únicamente del estado presente entonces decimos de él que es determinista o que obedece a la causalidad. El estado condiciona el comportamiento del sistema y su respuesta al entorno. Cada estado por tanto constituye una especie de memoria, lo que en teoría de sistemas suele llamarse almacenamiento o stock. El estado presente también condiciona los estados futuros, aquellos posteriores en el tiempo.

Si consideramos el tiempo como una magnitud continua -es decir divisible en un número infinito de instantes- y si denominamos s(t) al estado de un sistema en el instante t, entonces a veces es posible encontrar una función s'(t) que define cómo cambia el estado en cada instante de tiempo. Por ejemplo, imaginemos que ponemos un vaso de agua a la intemperie. El nivel de agua irá disminuyendo -o aumentando si llueve- en función de la humedad ambiental, temperatura, viento etc. Si el estado s(t) representa el nivel de agua en el instante t, entonces su variación s'(t) nos dirá cuánto varía el nivel cada segundo que pasa, y s'(t) misma variará con el paso del tiempo. Probablemente sea mayor de día o con sol que de noche o cuando está nublado. Si conociéramos cuánta agua había en un instante inicial dado t₀ y además la función s'(t) al menos desde el momento t₀, entonces deberíamos de ser capaces de predecir la evolución del sistema, es decir el nivel de agua en cada momento posterior a t₀, dado que poseemos toda la información. Suponiendo que s'(t) varía lentamente, podríamos ir sumando segundo a segundo:

s(n) = s₀ + s'(0) + s'(1) + s'(2) + ... + s'(n),

exactamente igual que haría un ordenador digital, porque hemos tratado el tiempo como si fuera una magnitud discreta o que va a saltos, de segundo a segundo. En cambio si quisiéramos tener en cuenta la variación infinitesimal de s'(t) a lo largo de cada segundo, entonces necesitaríamos realizar una operación del cálculo infinitesimal llamada integración. Necesitaríamos integrar desde el instante inicial t₀ al instante t, es decir hacer lo mismo sólo que en lugar de considerar segundos considerar instantes.

Podríamos, si nos sentimos abrumados por las matemáticas, hacer este sistema tan sencillo como quisiéramos. Podríamos suponer que s'(t) es constante, o que vale -5 durante 8 horas al día y -1 durante las 16 restantes, o podríamos contar el tiempo en días para así sólo tener que hacer tantas sumas como número de días pasen, o contarlo en horas. Lo importante es comprender que en cada instante de tiempo t el sistema estará evolucionando a un ritmo s'(t).

Pero también podríamos complicar el problema. Si las paredes del vaso no fueran verticales, entonces el área expuesta a la evaporación y a la lluvia dependería del nivel de agua. Por tanto s' sería función del tiempo y además del estado, s, es decir del nivel de agua. Esto lo representaríamos así:

s'(t) = f(t, s(t))

donde f sería la función que nos da la variación s'(t) según el momento y el estado. No cunda el pánico. No hemos hecho más que expresar en lenguaje científico algo que ya sabíamos: que el cambio depende de las condiciones externas (meteorología) y del estado interno (nivel de agua). En recompensa por este esfuerzo hemos visto sin excesivo aparato matemático tal vez nuestra primera ecuación diferencial: s'(t)=f(t,s(t)).

Si este ejemplo nos parece rebuscado y de poca utilidad práctica, pensemos en un sistema de riego automático industrial en el que un pequeño cerebro electrónico tiene que deducir el grado de humedad de diversos puntos del terreno a partir de la humedad atmosférica, precipitación, temperatura, viento, vegetación e insolación, para abrir una válvula de riego en caso de que la tierra de cultivo se hubiera quedado demasiado seca. Podríamos incluso pedirle a este miniordenador que predijera la humedad futura de la tierra, para lo cual necesitaría tener en cuenta la hora del día, el estado del cielo e incluso la periodicidad con que se haya estado nublando o lloviendo.